[ Homepage ]
Complexe getallen, deel 2:
Naar Complexe getallen, deel 1.
We vervolgen het verhaal over complexe getallen.
Geconjugeerde, modulus en afstand
We definiëren nu drie belangrijke grootheden. Bij berekeningen met
z = a + bi blijkt het getal a - bi zo
vaak een rol te spelen dat deze een eigen notatie heeft gekregen:
:= a
- bi, de complex toegevoegde of geconjugeerde of
geadjungeerde van z (uitspraak: z-geconjugeerd). In
het vlak is het dus de gespiegelde van z in de reële as, zie
figuur 4. In het bijzonder zijn complexe oplossingen van een kwadratische
vergelijking elkaars geconjugeerde.
figuur 4
Propositie: Er is voldaan aan de volgende regels:
z,
w
:
1. =
+
2. =
3. z +
= 2 Re z; z -
= 2i
Im z; en z =
z
4. z
0 en
z
= 0
z
= 0
5.
= z
De modulus of lengte of voerstraal of norm of
absolute waarde van z = a + bi is |z|
:=
[a2
+ b2], ofwel de "afstand" van z tot de oorsprong
in het complexe vlak (een reëel getal
0 dus), zie
figuur 5. (Dit begrip is belangrijk, hetgeen het aantal synoniemen ervoor
al doet vermoeden!) Voor het gemak zullen wij deze grootheid altijd
'modulus' noemen. Voor reële getallen is de modulus natuurlijk gewoon
de absolute waarde zoals we die al kennen.
figuur 5
Propositie: Ook nu gelden een paar eenvoudig te bewijzen regels:
z, w
:
1. |zw| = |z||w|
2. |z + w|
|z| + |w| en ||z| - |w||
|z + w| (Driehoeksongelijkheden)
3. |z|2 =
z
4. |z| =
|| =
|-z|
5. |z| > 0
z
0 en in dat geval
is 1/z =
/ |z|2
We maken nu het eerder genoemde begrip "afstand" precies: Voor z,
w
is
de afstand tussen z en w gedefinieerd door |z
- w|.
Stelling: We hebben dan
z,
w,
:
1. |z - w|
0 en
|z - w| = 0
z =
w
2. |z - w| = |w - z|
3. Stelling van Pythagoras: voor z = a + bi,
w = c + di: |z - w| =
[(a -
c)2 + (b - d)2]
4. Driehoeksongelijkheden: ||z -
| -
|
- w||
|z - w|
|z -
|
+ |
- w|
De gedeelten 1, 2, en de tweede ongelijkheid van 3 in deze stelling laten zien dat |z - w| (inderdaad) voldoet aan de axioma's van een metriek (afstandsfunctie).
Poolcoördinaten en machten
We hebben tot nu toe een complex getal steeds vastgelegd door zijn (Cartesische)
coördinaten a en b, en genoteerd a + bi.
Er is echter nog een andere manier om een compex getal eenduidig vast te
leggen: d.m.v. poolcoördinaten. We nemen van een compex getal
z de modulus r := |z| en de hoek
die het lijnstuk
oorsprong-z maakt met de positieve reële as, zie figuur 6.
figuur 6
Voor een complex getal z = a + ib geldt dan: a
= r cos , b
= r sin
. En
omgekeerd: r =
[a2
+ b2] ,
= arctan(b/a). Merk op: als
voldoet aan deze formules,
dan voldoet ook
+
2n
voor alle
n
.We kiezen
bij voorkeur die
voor
de modulus, zodat
-
<
(het komt ook
wel eens voor dat de voorkeur uitgaat naar 0
<
2
). We noemen de
waarde van deze
de hoofdwaarde van het argument van z, of kortweg het
argument van z, notatie arg z. Samenvattend: de waarden
van r = |z|
[0,
) en
= arg z
(-
,
] bepalen eenduidig
het complexe getal z. Er is nog wel een kleinigheidje: als z
= 0, dan is r = 0, maar
kan iedere waarde hebben!
We zullen daarom het getal 0 niet in poolcoördinaten uitdrukken.
Voorbeeld: Als z = 1 + i, dan r =
en
=
/4. Als r
= 2,
=
5
/6, dan z
= -
3 + i.
We kunnen z nu schrijven als z = r(cos
+ i sin
), we noemen dit de
modulus-argument schrijfwijze of polaire schrijfwijze. Met
deze schrijfwijze krijgen product en quotiënt van complexe getallen
een nieuwe interpretatie: zij z = r(cos
+ i sin
), w =
s(cos
+
i sin
), dan:
zw = r(cos
+ i sin
)s(cos
+ i sin
) =
rs(cos(
+
) + i
sin(
+
)) In woorden: de
modulus wordt het product van de moduli; het argument wordt de som van de
argumenten. Of ook: vermenigvuldiging van z met w betekent
voor z een schaling met een factor s, en een draaiing over
een hoek
. En voor
w natuurlijk iets soortgelijks.
z/w = r(cos
+ i sin
) / s(cos
+ i sin
) =
r/s (cos(
-
) + i
sin(
-
)) (s
0) De modulus
wordt het quotiënt van de moduli; het argument wordt het verschil van
de argumenten.
Uit de eerste vergelijking volgt met inductie:
Stelling: (Stelling van De Moivre): voor iedere k
:
zk =
rk(cos(k
) + i
sin(k
))
Het zijn mede deze eigenschappen die aanleiding geven de volgende notatie
in te voeren:
ei :=
cos
+ i sin
voor
. Deze
relatie heet de formule van Euler, naar de Zwitserse wiskundige Leonhard
Euler die deze notatie bedacht heeft. De gedachte achter deze formule is
als volgt. We kennen de e-machtsfunctie op dit moment alleen voor reële
getallen, en we zijn natuurlijk vrij om een functie met dezelfde naam te
definiëren voor getallen op de imaginaire as. We zullen nu zien waarom
Euler's definitie een goede keus is. Allereerst merken we op: omdat het punt
0 zowel in
als op de imaginaire as voorkomt, eisen we
dat e0 :=
ei0 = 1; gelukkig is dat hier inderdaad het
geval. Als we vervolgens de Taylorontwikkeling van de reële e-machtsfunctie
nemen en i
voor
de variabele invullen, krijgen we:
ei
= 1 +
i +
(i
)2
/ 2 +
(i
)3
/ 3! +
(i
)4
/ 4! + ...
Men kan (met wat meer theorie) bewijzen dat deze som bestaat en een limiet
in
heeft. Wanneer we ook eens kijken naar de Taylorontwikkelingen van de reële
sinus en cosinus (met variabele
),
sin =
-
3 / 3! +
5 / 5! - ...
cos = 1 -
2 / 2! +
4 / 4! - ...
,
dan valt ons iets verrassends op: wanneer we namelijk de reeks van cos
+ i sin
uitrekenen door term
voor term op te tellen, krijgen we na enig uitwerken precies de reeks voor
ei
.
Dus is het niet zo gek om te stellen
ei
= cos
+ i sin
, ook al is het voorgaande
wiskundig niet helemaal correct beargumenteerd.
We hebben nu een derde schrijfwijze voor complexe getallen gevonden: z
=
rei,
als r = |z| en
= arg z. We noemen
dit de exponentiële schrijfwijze. De regels ten aanzien van product
en quotiënt van complexe getallen in poolcoördinaten reduceren
nu tot:
rei
sei
= rs
ei(
+
) en met De Moivre:
(rei
)k
=
rkeik
rei /
sei
= r/s
ei(
-
).
En dit soort regels zijn gebruikelijk voor de "gewone" e-machtsfunctie. We zien nu nogmaals dat je met Euler's definitie van de imaginaire e-macht een functie krijgt die zich qua regels gedraagt zoals zijn reële tegenhanger.
De functie
ei
voldoet verder nog aan de volgende kenmerkende eigenschappen:
ei
is periodiek modulo 2
,
ofwel
ei
=
ei(
+2n
) voor alle n
ei2
= 1 en
ei
= -1 (ofwel
ei
+
1 = 0, een beroemde relatie tussen de 5 belangrijkste getallen in de wiskunde!)
Voorbeeld: Als z = 1 + i, dan z =
ei
/4.
Tot slot hebben we nu de gelegenheid om een algemenere definitie van machten
van een complex getal te geven: zij t
en
z =
rei
,
dan zt :=
rteit
.
Voorbeeld: Los op: z2 =
4ei/4.
z =
[4ei
/4] =
2ei
/8.
Dus oplossingen: z =
2ei
/8
of z =
2e-7i
/8
Voorbeeld: Los op: z3 = i. Equivalent is:
|z|3 = |z3| = |i| = 1 én
3 arg z = arg(z3) = arg i +
2k =
/2 +
2k
voor iedere
k
. Dus
r = |z| = 1 en
= arg z =
/6 +
2k
/3. Hiermee liggen
de oplossingen vast! We vinden: (vul in: k = 0, 1 en 2)
z1 =
e
i/6
=
3/2 +
i/2, z2 =
e5
i/6
= -
3/2 + i/2,
en z3 =
e3
i/2
= -i. Merk op dat er niet meer dan drie oplossingen zijn, vanwege
de periodiciteit van de functie
ei
.
Als je deze oplossingen in het vlak tekent, zie je dat ze de hoekpunten van
een gelijkzijdige driehoek vormen.
Algemener geldt zelfs voor een vergelijking van de vorm
zn =
(voor
0 in
, n
),
een zogeheten binomiaalvergelijking, dat er n oplossingen zijn
en dat deze de hoekpunten vormen van een regelmatige n-hoek met middelpunt
in 0. Een aardig resultaat.
Complexe functies
Het laatste begrip dat we tegenkomen in deze reis door de wereld van de complexe
getallen, is het begrip functie. We kennen uit de analyse reeds functies
f:
. Maar
we hebben nu ook complexe getallen tot onze beschikking, dus willen we graag
functies definiëren van (bijvoorbeeld) de vorm f:
, of
nog liever van de vorm f:
. Functies
van het laatste type noemen we complexe functies. In het bijzonder
willen we graag beroemde reële functies als exp, sin en cos uitbreiden
tot een complexe functie. Een voor de hand liggende voorwaarde hierbij is
uiteraard dat de "nieuwe" complexe functie beperkt tot reële getallen
weer de "oude" reële functie oplevert. Voor functies opgebouwd uit de
reeds gesproken bewerkingen (som, verschil, product, quotiënt en verheffing
tot een reële macht) is hier keurig aan voldaan.
Voor de exponentiële functie kennen we reeds een definitie voor reële
getallen en voor zuiver imaginaire getallen (waarbij de waarde in 0 "netjes"
in beide gevallen 1 is). Het ligt nu voor de hand om de functie exp:
voor
z = a + bi als volgt de definiëren: exp(a
+ bi) = ea + bi :=
(ea)(eib). Voor z
geeft
dit inderdaad de oorspronkelijke e-machtsfunctie. We hebben nu de belangrijkste
functie uit de complexe analyse te pakken. De complexe sinus en cosinus worden
van deze functie afgeleid: sin z :=
(eiz -
e-iz) / 2i en cos z :=
(eiz + e-iz) / 2. Ook voor deze
functies geldt dat ze voor reële getallen de oorspronkelijke reële
functie opleveren (al is dat in deze gevallen niet zo gemakkelijk te
controleren), en dat ze voldoen aan bijna alle gebruikelijke rekenregels
die we kennen voor hun reële broertjes (of zusjes).
Analoog aan het reële geval kunnen we begrippen uit de analyse zoals limiet, continuïteit, differentieerbaarheid, afgeleide, machtreeks, etc. ook weer definiëren voor complexe functies. En je voelt 'm al aankomen: bijna alle bekende regels uit de reële analyse (zoals de regels voor het differentiëren) gelden ook weer in het complexe geval!
We hebben nu onder andere gezien hoe je
kan uitbreiden
tot een grotere verzameling
, hoe
je met deze complexe getallen kan rekenen, en hoe je aan meer vergelijkingen
een oplossing kan toekennen door complexe oplossingen toe te laten. Dit alles
kan bij vele wiskundige problemen nuttig zijn, zelfs bij "reële problemen"
waarvoor we uiteindelijk een "reële oplossing" zoeken (te denken aan
bijvoorbeeld reële differentiaalvergelijkingen of reële integralen).
Dat blijft voor nu wat vaag. Ik probeer in de toekomst op deze site concrete
toepassingen van complexe getallen en functies te laten zien.
Link: Op deze site wel een héél opmerkelijke behandeling van de complexe getallen.
[ Homepage ]